Witaj
nikuss 
Spróbuję Ci pomóc.
Zacznijmy od tego, że w marcu będziesz w trakcie urlopu macierzyńskiego. Koniec umowy oznacza rozstanie z pracodawcą i przejęcie obowiązku wypłaty świadczenia macierzyńskiego oraz ubezpieczenia zdrowotnego przez ZUS (dostajesz świadectwo pracy i formalności załatwiasz już z ZUSem, nie przez pracodawcę).
Jeśli jednak zdecydujesz się kontynuować pracę, na co również zgodzi się pracodawca, w trakcie macierzyńskiego podpisujecie kolejną umowę o pracę i wszystko idzie normalnym trybem - czyli nadal masz macierzyński aż do końca okresu, który musisz wykorzystać (polskie prawo narzuca pewne minimum długości trwania macierzyńskiego i nie można go skracać!). [źródło:
http://www.zus.pl/files/INTERNET macierzyński po ustaniu II.pdf]
Dziecko możesz zgłosić do ubezpieczenia zdrowotnego u pracodawcy choćby tylko na 1 dzień. Nie mogą Ci tego odmówić, więc z tym nie ma problemu. Jeśli umowa skończy się w marcu i nie przedłużysz jej Twój pracodawca wyrejestruje z ubezpieczenia zarówno Ciebie, jak i dziecko. Będzie ono zarejestrowane tam, gdzie Ty, czyli w ZUSie (to trzebaby jeszcze sprawdzić, ale w trakcie zasiłku macierzyńskiego nie jesteś osobą poszukującą pracy, więc wg mnie nie rejestrujesz się w PUP tylko właśnie ubezpiecza Cię ZUS i on zgłasza do ubezp. zdrowotnego i Ciebie i dziecko - ale to akurat do sprawdzenia!)
Pracodawca zgłasza do ubezp. zdrow. i Ciebie i dziecko wyłącznie do ostatniego dnia trwania umowy o pracę.
Nawet jeśli umowa skończy się w marcu masz prawo do pełnego macierzyńskiego, czyli w naszym przypadku 20 tyg. + 4 tygodnie dodatkowego i za taki okres będą Ci wypłacać zasiłek.
Urlop wychowawczy jest okresem zwolnienia od pracy przysługującym osobom zatrudnionym na podstawie umowy o pracę. Jeśli Twoja umowa zostanie rozwiązana w trakcie macierzyńskiego nie nabywasz praw do urlopu wychowawczego, a tym samym nie możesz ubiegać się o zasiłek. Jeśli Twoja umowa skończy się natomiast w trakcie urlopu wychowawczego (i pobierania z tego tyt. zasiłku wychowawczego wypłacanego przez MOPS lub GOPS), prawo i do urlopu i do zasiłku kończy się z ostatnim dniem trwania umowy o pracę.
Podobnie jak w przypadku macierzyńskiego, tak i przy wychowawczym, jeśli obie strony mają taką wolę mogą podpisać kolejną umowę w trakcie trwania tych urlopów i kontynuować udzielanie świadczenia.
Mam nadzieję, że rozwiałam Twoje główne wątpliwości i że pytając o ubezpieczenie dziecka miałaś na myśli właśnie to, czyli zgłoszenie go do ubezp. zdrowotnego.
Edit:
Doinformowałam się i wszystko się zgadza - jeśli umowa rozwiąże się w marcu zgłaszasz się do ZUSu i tam zgłaszają i Ciebie i dziecko do ubezp. zdrowotnego. Po zakończeniu macierzyńskiego i wypłaty zasiłku przez ZUS możesz zgłosić się do PUP jako osoba bezrobotna, z tym, że musisz im dać zaświadczenie z ZUSu, że wypłacali Ci świadczenie po ustaniu zatrudnienia oraz zaświadczenie od lekarza o zdolności do pracy. Po zgłoszeniu do PUP obowiązek zgłoszenia do ubezp. zdrowotnego Ciebie i jeśli tego chcesz również dziecka, należy do PUP.
Pominęłam niechcący pytanie o termin i sposób zgłoszenia u pracodawcy do ubezp. zdrowotnego dziecka.
Pisałam już kiedyś, że dziecko teoretycznie jest ubezpieczone przez spory okres od urodzenia i nie musi być od razu zgłaszane, ale faktem jest, że lekarze chcą mieć poświadczenie takiego ubezpieczenia, więc lepiej zrobić to jak najszybciej.
Piszesz do pracodawcy pismo w stylu "Proszę o zgłoszenie do ubezpieczenia zdrowotnego z dniem (data złożenia pisma) mojego dziecka - tu podajesz pełne dane: imię nazwisko, data urodzenia, pesel, adres zameldowania, ewentualny stopień niepełnosprawności jeśli ma orzeczoną. Podpisujesz pismo i dostarczasz je razem ze skróconym aktem urodzenia dziecka.
